Descrição do trabalho
Gerar números aleatórios das seguintes distribuições de probabilidade listadas abaixo. Implementar o gerador de números aleatórios considerando o método da transformação integral de probabilidade. Algumas distribuições são informadas com a função densidade acumulada, \(F(x)\) e outras com a função densidade, \(f(x)\). O valor dos parâmetros é arbitrário mas deve considerar o espaço paramétrico informado.
A tarefa contém as seguintes etapas:
- Fazer gráfico da função densidade acumulada da distribuição. Aquelas onde foi dada \(f(x)\) a \(F(x)\) deve ser obtida. Fazer o gráfico contendo três curvas que serão obtidas pelas escolhar de valores para os parâmetros. Para distribuições sem parâmetros, fazer apenas uma curva.
- Criar uma função para gerar números aleatórios da distribuição. A função tem que ter um argumento obrigatório
n que é o número de valores a ser gerado. O valor dos parâmentros podem ser argumentos opicionais.
- Gerar amostras de tamanho 10 mil da distribuição proposta e fazer histogramas, gráficos de densidade empírica e probabilidade acumulada empírica. Aos gráficos sobrepor a curva do modelo teórico.
- Em casos em que não existe expressão fechada para a inversa da distribuição acumulada, \(F^{-1}\), usar aproximação via função
approxfun().
Lista de distribuição de probabilidades:
- \[
F(x) = 1/(1+\exp\{-\theta_{2}(x-\theta_{1})\}), \quad x\in
\mathbb{R}, \theta_{1}>0, \theta_{2}>0. \]
- \[
F(x) = x/(\theta_1+x), \quad x>0, \theta_{1}>0.
\]
- \[
f(x) = \frac{1}{2} \sin(x), \quad 0 < x < \pi.
\]
- \[
f(x) = \frac{\cos(x)+1}{\pi}, \quad 0 < x < \pi.
\]
- \[
F(x) = x^{\theta_{1}}, \quad 0 < x < 1, \theta_{1} > 1.
\]
- \[
F(x) = 1-(x-1)^{2}, \quad 0 < x < 1.
\]
- \[
F(x) = \exp\{-\exp\{\theta_{1}+\theta_2 x\}\}, \quad x \in \mathbb{R},
\theta_{1} \in \mathbb{R}, \theta_{2} <0.
\]
- \[
F(x) =
\frac{x}{\theta_{1}}\left(1-\theta_{2}\left(1-\frac{x}{\theta_{1}}\right)\right)^{-1/\theta_2},
\quad 0< x< \theta_{1},
\theta_{1} > 0, 0< \theta_{2} < 1.
\]
- \[
F(x) = 1-\exp\{-x^2/2\theta_{1}^2\}, \quad x> 0, \theta_{1} > 0.
\]
- \[
F(x) = 1-\left(\frac{\theta_{1}}{x}\right)^{\theta_{2}}, \quad x>
\theta_{1}, \theta_{1} > 0, \theta_{2} > 1.
\]
- \[
F(x) =
\frac{1}{2}\left(1+\frac{x-\theta_{1}}{\theta_{2}}+\frac{1}{\pi}\sin\left(\pi
\frac{x-\theta_{1}}{\theta_{2}}\right)\right), \quad \theta_{1}-\theta_2 <
x< \theta_{1}+\theta_{2}, \theta_{1} \in \mathbb{R}, \theta_{2}> 0.
\]
- \[
F(x) = \left(1+\left(\frac{x}{\theta_{1}}\right)^{-\theta_{2}}\right)^{-\theta_3},
\quad x> 0, \theta_{1}> 0, \theta_{2}> 0, \theta_{3}> 0.
\]
- anulada. Escolha outra. \[latex
F(x) = \exp\left\{-\frac{x-\theta_{1}}{\theta_{2}}-\theta_{3}\right\},
\quad x> \theta_{1}, \theta_{1} \in \mathbb{R}, \theta_{2}> 0, \theta_{3}> 0.
\]
- \[
F(x) = 1-\exp\{-\theta_{1}\exp\{\theta_{2} x\}\},
\quad x> 0, \theta_{1} >0, \theta_{2}> 0.
\]
- \[
F(x) = \frac{1}{1+(x/\theta_{1})^{-\theta_{2}}},
\quad x> 0, \theta_{1} >0, \theta_{2}> 0.
\]
Sorteio das distribuições aos acadêmicos
##-----------------------------------------------------------------------------
## O número da linha correspondende a linha com o nome do acadêmico na
## lista de chamada. Os números sorteados são os índices das
## distribuições de probabilidade na lista.
set.seed(123)
r <- replicate(10, sort(sample(1:15, 3, replace=FALSE)))
t(r)
## [,1] [,2] [,3]
## [1,] 3 14 15
## [2,] 2 6 10
## [3,] 4 5 11
## [4,] 6 9 14
## [5,] 5 10 11
## [6,] 3 9 11
## [7,] 9 12 14
## [8,] 3 8 13
## [9,] 7 10 15
## [10,] 3 9 14
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