1 Probababilidade Básica

1. (Probabilidade Condicional e Independência) Uma empresa produz peças em duas máquinas I e II, que podem apresentar desajustes com probabilidade \(0.05\) e \(0.10\), respectivamente. No início do dia de operação um teste é realizado e, caso a máquina esteja fora de ajuste, ela ficará sem operar nesse dia passando por revisão técnica. Para cumprir o nível mínimo de produção pelo menos uma das máquinas deve operar. Você diria que a empresa corre o risco de não cumprir com suas metas de produção?

2. (Probabilidade Condicional e Independência) Suponha que a probabilidade de um avião decolar no horário é de \(P(D) = 0.83\); a probabilidade do avião chegar no horário é de \(P(A) = 0.82\); e a probabilidade de decolar e chegar no horário é de \(P(D \cap A) = 0.78\). Encontre as probabilidades:

   1. Chegue no horário dado que decolou no horário.
   2. Decole no horário dado que chegou no horário.

3. (Teorema de Bayes) Uma montadora trabalha com 2 fornecedores (A e B) de uma determinada peça. As chances de que uma peça proveniente dos fornecedores A e B esteja fora das especificações são \(10\%\) e \(5\%\) respectivamente. A montadora recebe \(30\%\) das peças do fornecedor A e \(70\%\) de B. Se uma peça do estoque inteiro é escolhido ao acaso:

   1. Calcule a probabilidade de que ela esteja fora das especificações.
   2. Se uma peça escolhida ao acaso está fora das especificações, qual é a probabilidade que venha do fornecedor fornecedor A?

4. (Teorema de Bayes) Uma empresa de manufatura emprega três planos para o desenvolvimento de um particupar produto. Por razões de custos, os três planos são usados aleatóriamente. Dados históricos mostram que os planos 1, 2 e 3 são usados para \(30\%\), \(20\%\) e \(50\%\) dos produtos, respectivamente. A taxa de defeito é diferente para os três planos, sendo \[P(D | P_1) = 0.01, P(D|P_2) = 0.03 \quad \text{e} \quad P(D|P_3) = 0.02.\] Se um produto é observado aleatóriamente e verificado defeituoso, qual é o plano mais provável de ter sido usado em sua produção?

5. (Distribuições de Probabilidade) Com o objetivo de verificar a resistência à pressão de água, os técnicos de qualidade de uma empresa inspecionam os tubos de PVC produzidos. Os tudos inspecionados têm 6 metros de comprimento e são submetidos a grandes pressões até o aparecimento do primeiro vazamento, cuja distância a uma das extremidades (fixada à priori) é anotada para fins de analise. Escolhe-se um tubo ao acaso para ser inspecionado. Queremos calcular a probabilidade de que o vazamento esteja, a no máximo 1 metro das extremidades.

6. O intervalo de tempo, em minutos, entre emissões consecutivas de uma fonte radioativa é uma variável aleatória com distribuição Exponencial de parâmetro \(\alpha = 0.2\). Calcule a probabilidade de haver uma emissão em um intervalo inferior a 2 minutos.

2 Principais distribuições de probabilidade

7. Seja X uma variável aleatória com distribuição Bernoulli de parâmetro \(p\), em que \(0 < p < 1\). Mostre que \(E[X] = p\) e \(Var[X] = p(1-p)\). Considere a seguinte parametrização

\[ p(x)= p^x(1-p)^{1-x}, x \in \{0, 1 \}. \]

8. Seja X uma variável aleatória com distribuição binomial de parâmetros \(n\) e \(p\), em que \(n \in \mathbb{N}\) e \(p \in [0,1]\). Mostre que \(E[X] = np\) e \(Var[X] = np(1-p)\). Considere a seguinte parametrização

\[ p(x) = \binom{n}{x} p^x (1-p)^{n-x}, x \in \{ 0, ..., n \}. \]

9. Seja X uma variável aleatória com distribuição Poisson de parâmetro \(\theta\), em que \(\theta \in \mathbb{R}^{+}\). Mostre que \(E[X] = \theta\) e \(Var[X] = \theta\). Considere a seguinte parametrização

\[ p(x) = \frac{\theta^{x} \exp^{-\theta}}{x!}, x \in \mathbb{N}. \]

10. Seja X uma variável aleatória com distribuição uniforme de parâmetros \((0, \theta)\), em que \(\theta \in \mathbb{R}\). Mostre que \(E[X] = \frac{\theta}{2}\) e \(Var[X] = \frac{\theta^{2}}{12}\). Considere a seguinte parametrização

\[ f(x) = \frac{1}{(\theta - 0)}, x \in [0, \theta]. \]

11. Seja X uma variável aleatória com distribuição exponencial de parâmetro \(\theta\), em que \(\theta \in \mathbb{R}^{+}\). Mostre que \(E[X] = \frac{1}{\theta}\) e \(Var[X] = \frac{1}{\theta^2}\). Considere a seguinte parametrização

\[ f(x) = \theta \exp^{-\theta x}, x \in \mathbb{R}^{+}. \]

12. Seja X uma variável aleatória com distribuição gamma de parâmetros \((\alpha, \beta)\), em que \(\alpha \in \mathbb{R}^{+}\) e \(\beta \in \mathbb{R}^{+}\). Mostre que \(E[X] = \frac{\alpha}{\beta}\) e \(Var[X] = \frac{\alpha}{\beta^{2}}\). Considere a seguinte parametrização

\[ f(x) = \frac{\beta^{\alpha}x^{\alpha - 1}\exp^{-\beta x}}{\Gamma(\alpha)}, x \in \mathbb{R}^{+}. \]

13. Seja X uma variável aleatória com distribuição Normal de parâmetros \((\mu, \sigma^{2})\), em que \(\mu \in \mathbb{R}\) e \(\sigma^{2} \in \mathbb{R}^{+}\). Mostre que \(E[X] = \mu\) e \(Var[X] = \sigma^{2}\). Considere a seguinte parametrização

\[ f(x) = \frac{1}{\sqrt{2 \pi}\sigma^{2}} \exp\bigg[-\frac{1}{2}\bigg(\frac{x - \mu}{\sigma}\bigg)^{2}\bigg], x \in \mathbb{R}. \]